Two circles touch externally. The sum of their areas is 130πsq. cm and the distance between their centres is 14 cm. Find the radii of the circles.

Two circles touch externally. The sum of their areas is 130πsq. cm and the distance between their centres is 14 cm. Find the radii of the circles.

Answer:

In English

Let the radii of the two circles be $r_1$ and $r_2$.

Since the circles touch externally, the distance between their centres is equal to the sum of their radii, i.e.,

$r_1+r_2=14$ cm

The sum of their areas is given as:

$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = 130\pi$ sq. cm

Simplifying this equation, we get:

$r_1^2 + r_2^2 = 130$

Squaring the first equation and simplifying, we get:

$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = 196$

Substituting $r_1^2 + r_2^2 = 130$, we get:

$2r_1r_2 = 66$

$r_1r_2 = 33$

We now have two equations and two variables, which we can solve to find $r_1$ and $r_2$. Multiplying the first equation by $r_2$ and substituting $r_2=14-r_1$, we get:

$r_1(14-r_1) = 33$

Expanding and rearranging, we get a quadratic equation:

$r_1^2 - 14r_1 + 33 = 0$

Solving this equation using the quadratic formula, we get:

$r_1 = 3$ or $r_1 = 11$

If $r_1=3$, then $r_2=14-3=11$, and the areas of the circles are:

$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(3^2) + \pi(11^2) = 130\pi$ sq. cm (satisfies the given condition)

If $r_1=11$, then $r_2=14-11=3$, and the areas of the circles are:

$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(11^2) + \pi(3^2) = 130\pi$ sq. cm (also satisfies the given condition)

Therefore, the radii of the circles are either 3 cm and 11 cm, or 11 cm and 3 cm.

In Hindi

दो वृत्त बाहर से स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों की दूरी 14 सेमी है। उनके क्षेत्रों की योग सम 130π वर्ग सेमी है। उन वृत्तों के त्रिज्याओं को ढूंढें।

उनके त्रिज्याओं को $r_1$ और $r_2$ नामकीन करें।

$r_1 + r_2 = 14$ और $r_1^2 + r_2^2 = 130$ से दो वर्णिका मिल सकते हैं। इन वर्णिकाओं को हल करने के लिए, हम द्विसंबंधी समीकरण $2r_1r_2 = 66$ को प्राप्त करते हैं।

यह समीकरण $r_1r_2 = 33$ में सुधार किया जा सकता है।

अब, $r_1(14-r_1) = 33$ और $r_1^2 - 14r_1 + 33 = 0$ से $r_1$ की मान निकाली जा सकती है। $r_1$ की दो मान हो सकते हैं: 3 या 11।

यदि $r_1 = 3$, तो $r_2 = 11$ होगा और वृत्तों के क्षेत्रों का योग होगा:

$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(3^2) + \pi(11^2) = 130\pi$ वर्ग सेमी (दिए गए शर्त को पूरा करता है)।

यदि $r_1 = 11$, तो $r_2 = 3$ होगा और वृत्तों के क्षेत्रों का योग होगा:

$\pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(11^2) + \pi(3^2) = 130\pi$ वर्ग सेमी (दिए गए शर्त को पूरा करता है)।

इसलिए,